关于幂级数

在 Kiyoshi 刚刚开始上大学的时候,这边教授讲课的节奏还有些跟不上。虽然物理老师很棒,但是数学教授就不那么友善了。每次讲课非常快,也不会解释做某件事情的现实意义,这让 Kiyoshi 实在是脑壳痛。因为上的是 Calculus II,在前半部分的时候还可以啃啃老本跟着走,到了幂级数这一章就不太好说了……首先是因为 Kiyoshi 实在没有理解到把函数展开成幂级数的意义,其次是 Kiyoshi 在课上只学会了怎么做题。整节课的感觉是只有英语为母语的学生中数学好的才听得懂。所以!Kiyoshi 在网上搜集了视频资料!在考试前进行了一次为期半天的学习!

选择的资料

在网络上能看到很多关于高等数学的视频资料以及电子书,但是 Kiyoshi 作为一名第一次学这个知识点的弱鸡选择了来自四川大学的徐小湛教授的视频课程。徐小湛老师的讲课节奏相对比较慢,但是知识点非常的细,非常好理解。(其实因为 Kiyoshi 是成都人所以听着徐小湛的老师的口音也会很亲切qwq)

简述

幂级数顾名思义就是以幂函数为项的级数。这种级数每一项都是一个幂函数,并且次数不同,形如:

n=1an(xc)n\sum_{n = 1}^\infty a_n(x - c)^n

其中c也可以写作 x0x_0,仅是一个常数;每一项中的 ana_n 也是一个准确的常数,被称为幂级数的系数。它是在数列 ana_n 中的第 nn 项。如果我们把 (xc)(x - c) 简化,我们可以得到 n=1anxn\sum_{n = 1}^\infty a_n x^n 这种形式被称为幂级数的标准形式。

如果我们将前者一项项展开:

n=1an(xc)n=a1(xc)+a2(xc)2+a3(xc)3++an(xc)n\sum_{n = 1}^\infty a_n(x - c)^n = a_1(x - c) + a_2(x - c)^2 + a_3(x - c)^3 + \cdots + a_n(x - c)^n

看起来很复杂qwq 但其实幂级数可以理解为一个无穷次的多项式

幂级数的研究

幂级数的研究方向

针对幂级数,我们主要研究的方向有以下几点

  • 幂级数的收敛半径和收敛域
  • 幂级数的和函数
  • 函数的幂级数展开
    其中幂级数的和函数需要用到等比级数中的知识(如其求和公式 Sn=1S_n = \frac {\rm 首项}{1 - {\rm 公比}}

幂级数的收敛半径和收敛域的定义

级数都有其敛散性。幂级数,由于其自身有一部分由函数构成,所以根据函数自变量 xx 取值的不同,我们会有不同的敛散性。为了方便研究,我们将幂级数的形式简化为 n=0un(x)\sum_{n=0}^{\infty}u_n(x),其中 un(x)u_n(x) 是幂函数。我们把让该幂级数收敛的 xx 称为收敛点,将让该级数发散的 xx 称为发散点。那么该幂级数的收敛域就是所有收敛点的集合。如果我们对一个已经定义的级数采用比值审敛法(Ratio Test),并且取收敛部分(即结果小于1时),我们可以得到 x<C,(CR)|x| < C ,(C \in R)。由此,我们可以画一张图:
收敛半径

我们将OO称为原点,也就是当 xC =0x - C = 0xx 的值。CCC-C 则是将上面不等式展开后的的收敛域端点。我们已经用了比值审敛法,所以目前在 (C,C)(-C,C) 这个区间中的所有点都是原级数的绝对收敛点,该区间为绝对收敛区间。但是两边的端点则需要继续讨论。我们可以采用代入并进行审敛的方法。那么这里从原点到一个端点的距离就是收敛半径,通常记为RR

幂级数的和函数定义

幂级数的和可以记为 Sn=S_n = \sum。我们在定义中已经知道一个幂级数的一个项由一个常数和一个幂函数在某一点的值的乘积构成,那么如果我们将常数项给消除,我们就可以获得一个等比级数。我们再利用等比级数的求和公式就可以得到一个幂级数的和函数了。但是在这之前,我们必须了解幂级数的运算才可以继续进行和函数的推导。

我们需要的原则通常为以下几点:

  • 幂级数在公共收敛区域内可以逐项加减
  • 幂级数若在区间 (R,R)(-R,R) 内有各阶导数,则可以逐项取导,其结果收敛半径不变(两端点敛散性可能改变)
  • 幂级数若在区间 (R,R)(-R,R) 内可积,则可以逐项积分,其结果收敛半径不变(两端点敛散性可能改变)

求和函数的方法

比如我们想要求幂级数 n=1nxn1\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} 的和函数 s(x)s(x),我们会先思考如何去掉该幂级数前面的 nn,然后用等比级数求和。我们可以采用逐项积分的方式来消除这个 nn

我们将其通项积分得到 n=1nxnn\sum_{n=1}^\infty n\frac {x^n}n,化简得到 n=1xn\sum_{n=1}^\infty x^n。我们应用等比级数的求和公式得到 s(x)=(x1x)s(x) = (\frac x {1-x})',那么我们的最终结果就是将右边的函数进行取导。s(x)=1(1x)2s(x)=\frac 1{(1-x)^2}

总结步骤:

  • 思考如何将原幂级数化为等比级数形式
  • 利用等比级数进行求和
  • 将积分或求导的结果还原为 s(x)s(x)

函数的幂级数展开

幂级数之所以重要,其中一个原因就是它可以无限接近于某一个函数。在 Calculus I 中,有一个泰勒公式:

f(x)=n=0f(n)(x0)n!(xx0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)(n+1)f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(x_0)} {n!} (x-x_0)^n +\frac {f^{(n+1)}(\xi)} {(n+1)!} (x-x_0)^{(n+1)}

第一项被称为泰勒多项式,第二项则是拉格朗日余项 Rn(x)Rn(x)ξ(x,x0)\xi\in(x,x_0)。这两项的和加起来组成的级数可以构成原函数,前提是函数在点 x=x0x=x_0 的某个邻域中有 n+1n+1 阶导数。所以如果一个函数在点 x=x0x=x_0 处有各阶导数,我们就可以得到这个函数在 x=x0x=x_0 处的泰勒级数:

f(x)=n=0f(n)(x0)n!(xx0)nf(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(x_0)} {n!} (x-x_0)^n

其中,当 x0=0x_0=0 时,这个级数叫做麦克劳林级数:

f(x)=n=0f(n)(0)n!(x)nf(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(0)} {n!} (x)^n

看着很眼熟qwq 这是个关于 xx 的幂级数!

我们一般研究的是麦克劳林级数,因为泰勒级数通常都可以转换为麦克劳林级数。要将函数转换为其麦克劳林级数不难,只需要算出 nn 阶导数代入就可以了(当然不会让你算那种导数一直变化的啦,比如 f(x)=exf(x)=e^x 就可以求到)。我们是可以证明一个函数有其唯一麦克劳林展开式的,所以问题在于求到的麦克劳林级数是否收敛于原函数本身。要讨论这个问题,我们就要回到泰勒级数本身上去。

我们知道泰勒级数来源于泰勒公式,而这个公式由两部分构成。我们级数中只包含了第一部分,那第二部分去哪了?答案当然是存在的,但是它趋近于 0 了。我们可以利用泰勒公式本身证明余项为0对泰勒级数成立的必要性和充分性,这里我们不做深究。所以如果我们要证明一个函数的麦克劳林展开式收敛于这个函数,我们要证明的就是 lim(n)Rn(x)=0\lim_{(n\to\infty)}Rn(x)=0

函数的幂级数展开方法

由于Kiyoshi比较低级,所以学到的方法暂时只有一种——直接展开。

所谓直接展开其实就是硬算… 步骤如下:

  • 求出原函数 f(x)f(x)nn 阶导数 f(n)(x)f^{(n)}(x)
  • 代入 x0=0x_0=0 进行计算
  • 将第二步计算的结果一项项代入麦克劳林标准式
  • 整理并写出通项
  • 找出级数收敛域
  • 证明 lim(n)Rn(x)=0\lim_{(n\to\infty)}Rn(x)=0
    注意,在证明 lim(n)Rn(x)=0\lim_{(n\to\infty)}Rn(x)=0 时我们会用到夹挤定理,将 lim(n)Rn(x)=0\lim_{(n\to\infty)}Rn(x)=0 的值取绝对值并扩大并证明扩大后的值趋近于 0。要证明扩大后的值趋近于 0,我们可以将该项直接作为通项放入一个级数当中并采用比值审敛法。如果该级数收敛,那么根据级数的定义,该级数通项趋近于 0。由此我们可以证明到 lim(n)Rn(x)=0\lim_{(n\to\infty)}Rn(x)=0,所以该麦克劳林级数收敛于原函数。

如在求 f(x)=exf(x)=e^x 的麦克劳林展开式时,我们可以得到其拉格朗日余项为:

Rn(x)=eξ(n+1)!xn+1Rn(x)=\frac {e^\xi} {(n+1)!}x^{n+1}

我们将其一步步扩大:

Rn(x)=eξ(n+1)!xn+1eξ(n+1)!xn+1<exxn+1(n+1)!|Rn(x)|=\frac {e^\xi} {(n+1)!}|x|^{n+1}\le\frac {e^{|\xi|}} {(n+1)!}|x|^{n+1}<e^{|x|}\frac {|x|^{n+1}} {(n+1)!}

把最后的这个结果转换为级数:

n=1xn+1(n+1)!\sum_{n=1}^\infty\frac {|x|^{n+1}} {(n+1)!}

再采用比值审敛法就可以得到 lim(n)Rn(x)=0\lim_{(n\to\infty)}Rn(x)=0 了。

总结

以上就是幂函数的主要知识点了,并不追求细致入微,但是至少要表明 Kiyoshi 听懂了老师的课hhhh

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文章作者: Kiyoshi
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