Diff Eq Exam 1 Review

明天就要考微分方程啦!今天做了一遍老师发的复习题,考点不多,也都很简单,所以就按照考点大概总结一下吧!

Integrating Factor

由于这学期才刚刚开始,所以这个解微分方程的方式暂时只适用于 Linear 的 First Order DE,并且通常是 Non-homogenous 的。

Standard Form

适用于 Integrating Factor 的微分方程通常形如:

dydt+P(t)y=Q(t)\frac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t)

Solution

Integrating Factor 指:eP(t)dte^{\int{P(t)}dt}。我们在标准形式的两边同时乘这个式子,通过几步简单的运算,我们可以得到:

(yeP(t)dt)=Q(t)eP(t)dt(y{\cdot}e^{\int{P(t)}dt})'=Q(t){\cdot}e^{\int{P(t)}dt}

两边同时 Take Integral 得到:

yeP(t)dt=Q(t)eP(t)dtdty{\cdot}e^{\int{P(t)}dt}=\int{Q(t){\cdot}e^{\int{P(t)}dt}}dt

所以原函数 y 为:

y=Q(t)eP(t)dtdteP(t)dty=\frac{\int{Q(t){\cdot}e^{\int{P(t)}dt}}dt}{e^{\int{P(t)}dt}}

Seperation of Variables

顾名思义这个方法就是把变量都分开到等式的两边,接着就可以直接在两边 Take Integral 就可以得到答案了。

Standard Form

这种 DE 通常没有特别的形式,但是他们一定能化为如下形式:

P(y)dy=Q(x)dxP(y)dy=Q(x)dx

Solution

一旦我们化成了上面的形式,我们只需要在两边取积分就可以得到答案了。

Bernoulli Differential Equations

实际上 Bernoulli DE 在这里就是 First Order, Non-linear 的 DE,只需要通过一个 Substitution 就可以让它变为可以应用 Integrating Factor 的形式。

Standard Form

dydt+P(t)y=Q(t)yn\frac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t){\cdot}y^n

Solution

Let v=y1n\text{Let }v=y^{1-n}

v=(1n)yny{\therefore}v'=(1-n)y^{-n}{\cdot}y'

y=v(1n)yny'=\frac{v'}{(1-n)y^{-n}}

接着把刚 Derive 出的 yy' 代入原式,Isolate vv' 之后,会发现新式子的 P(t)=vP(t)=v;于是我们就可以快乐的代入 vv 接着用 Integrating Factor 的方法来解题啦!

Modeling

这种问题其实就那几种套路,无非就是水缸边进水边出水,里面可能会有一些盐之类的东西。解题的关键在于找到属于那道题的 dydt\frac{dy}{dt}

Trick/Hint

dydt=Rate inRate Out\frac{dy}{dt}=\text{Rate in}-\text{Rate Out}

Exact Equation

Exact Equation 是一种愚蠢奇妙的等式。

Standard Form

若一个等式能化为 M(x,y)dx=N(x,y)dyM(x,y)dx=N(x,y)dy 并满足以下条件,则为 Exact Equation:

My=NxM_y=-N_x

Solution

如果一个式子是 Exact Equation,那么我们就可以直接在两边取积分了。

M(x,y)dx=N(x,y)dy\int{M(x,y)}dx=\int{N(x,y)}dy

P(x,y)+Cy=Q(x,y)+CxP(x,y)+C_y=Q(x,y)+C_x

根据出来的结果,写出一个通解;其内容包含 P(x,y)P(x,y)Q(x,y)Q(x,y) 中所有独特的项。

Example: If P(x,y)=xln(y)+3yP(x,y)=xln(y)+3y and Q(x,y)=xln(y)24xQ(x,y)=-xln(y)-24x, then the solution would be:

xln(y)+3y+24x=Cxln(y)+3y+24x=C

Population

这种问题都是高度 Modelled 过的,于是所有问题都可以带公式解决。

Standard Form

P(t)=rP(1PK)P'(t)=rP(1-\frac{P}{K})

Where P stands for the population, r stands for the growth rate and K stands for the carrying capacity, which means the max size of population that the environment can keep P(t)P'(t) positive.

Solution

由于这类题的标准形式如上,通常直接 Seperation of Variables 加上一些像 Partial Fractions 的 Integration Techniques 就可以解决。然而为了方便,我们可以直接上通解!

P=KBert+1P=\frac{K}{Be^{-rt}+1}

直接代入 Initial Condition,直达答案嗷!

总结

害,没啥好总结滴!注意 Exact Equation 的符号以及添加常数就行啦!

奥利给!

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文章作者: Takahashi Kiyoshi
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