Linear Algebra Exam 2

明天就要考 Linear Algebra 了!其实 Linear Algebra 本身并不难,但是由于 Kiyoshi 第一次 Linear Algebra 考试考得巨烂,这次必须要好好思考一下怎么应对了!

考点分析

根据教授提供的复习题,考试主题应该在这些内容中:

  • Vector space
    • Proof of vector spaces
    • Proof of subspaces
    • Parameterize a vector spaces
  • Span
    • Prove if a vector is in a span
    • Express a vector space as a span
  • Linear independency
    • Proof of if a set is linearly independent
    • Induce if a set is linearly independent based on given linearly independent set
    • Attributes of a linearly independent set
  • Basis
    • Find bases based on:
      • sets
      • vector spaces
    • Attributes of a basis
    • Row/Column space
      • Find the row/column space of a given matrix
      • Find the rank of a matrix
      • Attributes of row/column spaces
  • Isomorphism
    • Proof of an isomorphism
    • Automorphism
    • Attributes of isomorphism
    • Mapping based on bases
  • Homomorphism
    • Proof of a map is linear/a homomorphism.

各个击破

考点看起来挺多的!我🉑!

Vector Space

一个 Vector Space 就是一个由 Vector 组成的集。

Proof of vector spaces

如果要证明一个集是向量空间,分别要从多个方面来说明,但是其中最重要的是以下几点:

  • Preservation of operations
  • Zero vector

如果一个向量空间是另一个向量空间的 Subspace 的话,通过证明以上两点即可完成证明。

Parameterization

所谓参数化,其实就是搞清楚一个向量空间各个变量之间的关系,重新表达一下原集。


Example 1:
Given set S={[ac0b] a+b=0,cR}S = \{\begin{bmatrix}a & c \\0 & b\end{bmatrix} | \space a+b=0,c \in \reals\}, parametrize its description.

Solve:
Given S={[ac0b] a+b=0,cR}= \{\begin{bmatrix}a & c \\0 & b\end{bmatrix} | \space a+b=0,c \in \reals\}
\therefore we have a+b=0a+b=0
a=b\therefore a=-b
\therefore we have S={b[1001]+c[0100] b,cR}S=\{b\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{bmatrix}| \space b,c \in \reals\}


Span

一个 Span 是由向量组成的,可以被理解为一个向量空间;这个空间是由 Span 中的向量通过 Linear Combo 得到的。

If a Vector Is in a Span

要证明一个向量是否在该 Span 当中,可以直接从 Span 的定义出发:如果该向量在 Span 中,那么存在某种 Linear Combo 使得 Span 中的向量等于该目标向量。

Express a Vector Space as a Span

要用 Span 描述一个向量空间的话,首先要 Parametrize 该向量空间的定义,接着将其变为一个 Span。


Example 2 (continue Example 1):
Express the vector space as a span.

Solve:
S={b[1001]+c[0100] b,cR}\because S=\{b\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}| \space b,c \in \reals\}
S=[[1001],[0100]]\therefore S=\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{bmatrix}\end{bmatrix}


Linear Independency

Linear Independency 表明了一个集中的某个元素是否能通过 Linear Combo 来得到另一个元素。如果不能,那么这个集是 Linearly Independent 的,因为其中的元素相互独立,不能互相转化。

Proof of Linear Independency

要证明一个集是 Linearly Independent 的,直接将该集所有元素组合成一个 Matrix 并对其做 Gauss Reduction。如果在 Gauss Reduction 后,Matrix 能达到 Echelon Form,那么这个集则是 Linearly Independent 的;因为我们已经证明了该集中的元素互相独立,不能相互转化。反之,如果有任意一行变成了 0,则该集是 Linearly Dependent 的。

注意:
在证明时,有两点可以直接否定一个集的 Linear Independency:

  1. 该集中存在 0\vec{0}
  2. 该集可以通过某种 Linear Combo (not all zeros) 得到 0\vec{0}

熟练运用以上两点可以快速证明很多题目。

Basis

一个 Basis 即是一个 Linear Independent 的 Set,通常其 Span 可以表达某个向量空间。

Find Basis

要获得一个向量空间的 Basis,通常会有一个已知的集或是向量空间的表达式。

  • 对于集,我们只需要取出集中的元素来组成 Matrix 并做 Gauss Reduction 即可
  • 对于向量空间,我们可以直接取单位向量(虽然这样很 Calc III)

注意:
Basis 是非常特别的,因为它必定是一个 Linearly Independent 的集,所以对 Linear Independent 的集适用的规则,它也是适用的。

  • Basis 中所有的元素通过 Linear Combo (not all zeros) 是无法得到 0\vec{0}

Row Space & Column Space

Row Space 和 Column Space 分别是一个 Matrix 行和列的 Basis 的 Span。

若需要计算一个 Matrix 的 Row Space 和 Column Space,直接对其做 Gauss Reduction 即可。


Example 3:
Find a basis for the row space and column space of the matrix:[2034011131021041]\begin{bmatrix}2 & 0 & 3 & 4 \\0 & 1 & 1 & -1 \\3 & 1 & 0 & 2 \\1 & 0 & -4 & -1\end{bmatrix}.

Solve:
By Gauss Reduction, we have: [31020111001160000]\begin{bmatrix}3&1&0&2\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&11&6\\ 0&0&0&0\end{bmatrix}

\therefore basis of row space: [2034],[0111],[3102]\left\langle\begin{bmatrix}2 & 0 & 3 & 4 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}3 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\right\rangle
basis of column space: <[2031],[0110],[3104]>\left<\begin{bmatrix}2\\0\\3\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}3\\1\\0\\-4\end{bmatrix}\right>


也就是说,只需要找到 Reduction 后不为 0 的行和列就可以啦。

Rank

Rank 就是 Reduction 后,Matrix 的非零行数/列数;该值等于 Row Rank,Column Rank 以及该 Matrix 的 Dimension。

Isomorphism

Isomorphism 是一个从向量空间到另一个向量空间的映射。一个合法的 Isomorphism 有以下特点

  • One-to-one
  • Onto
  • Preserves scalar multiplication and addition

Proof of an isomorphism

一旦证明以上几点即可证明一个映射是 Isomorphism。由于以上的几点特性,一个 Isomorphism 所映射的原向量空间和目标向量空间的 Dimension 必须相同。这一点可以用于快速判断一个映射是不是 Isomorphism,但是不能用于证明一个映射是 Isomorphism。

Automorphism

Automorphism 是一个从向量空间映射到其本身的 Isomorphism。其性质应该和 Isomorphism 相同。

Mapping based on bases

通常 Isomorphism 会直接提供向量的映射方法,但是 Isomorphism 也可以用 Basis 的映射来定义。如果我们能够证明一个向量空间的 Basis 可以映射到另一个向量空间,我们就可以证明 Isomorphism 的存在。


Example 4:
Give basis of VV, β\beta
If f:βWf : \beta \mapsto W
Then f:VWf : V \mapsto W
Let vV\vec{v} \in V
\exist integers ci:c1v1+c2v2++cnvnc_i : c_1v_1+c_2v_2+ \dots + c_nv_n
Repβ(v)=[c1c2cn]\therefore {Rep}_{\beta}(\vec{v})=\begin{bmatrix}c_1&c_2&\dots&c_n\end{bmatrix}


Homomorphism

理解了 Isomorphism,那么 Homomorphism 就会变得更好理解啦。

一个 Homomorphism 就是一个不需要 One-to-oneOnto 的 Isomorphism。换句话说就是 Homomorphism 所映射的两个向量空间中,Dim(V)Dim(W)Dim(V) \ge Dim(W)

Homomorphism only modifies/maps information from a vector space to another, but it cannot create new information.

总结

写完这一篇文章的时候,其实已经考完试了!和教授对了对答案感觉还不错!最惨的就是因为这篇文章,我没有听 Discrete 的课。

嘻嘻!

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文章作者: Takahashi Kiyoshi
文章链接: https://blog.k1yoshi.com/article/linalg-exam-2/
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